Ve li ricordate i paradossi di Zenone?

"La freccia in moto sta ferma" e "Achille non riesce a raggiungere mai la tartaruga"?

L’esperienza ci insegna che il ragionamento di Zenone non  è corretto: la freccia in moto si muove e chiunque sarebbe in grado di sorpassare una tartaruga.

Il ragionamento di Zenone era questo.

Prendiamo come esempio Achille e la tartaruga.

Achille non raggiunge mai la tartaruga semplicemente perché nel frattempo in cui Achille copre il vantaggio che la tartaruga ha su di lui, essa percorrerà un nuovo spazio.

Nel tempo impiegato da Achille nel ricoprire quel nuovo spazio guadagnato dalla tararuga, essa, la tartaruga, ne avrà percorso un altro anche se minore rispetto al precedente. E così via fino all’infinito. In base a questo ragionamento quindi Achille si avvicinerà sempre più alla tartaruga senza mai raggiungerla.

Il ragionamento non fa una grinza. Eppure sappiamo che il ragionamento non è corretto.

Ce lo dice l’esperienza diretta.

Dov’è allora il "baco" nel ragionamento di Zenone?

Proviamo a fare due conti.

Saranno loro a rivelarci l’errore commesso da Zenone.

Iniziamo avvalendoci delle leggi  della cinematica.

Facciamo delle ipotesi (giusto per fissare dei numeri con cui fare i conti):      

Supponiamo che:

La velocità di Achille, v_A, è di 6 m/s (costante)

La velocità della Tartaruga, v_T, è invece 1 m/s (costante)

Supponiamo che Achille conceda alla Tartaruga 10 m di vantaggio.

Per quelli meno pratici di cinematica ricordiamo che lo spazio percorso (in caso di velocità costante) è uguale al prodotto della velocità per il tempo.

In formule s=vt (spazio = velocità moltiplicato il tempo)

Prima di proseguire, nel ragionamento diciamo cosa intendiamo fare.

Ci proponiamo di ricavare il tempo che Achille impiega a raggiungere la tartaruga, e constatare che questo tempo, al contrario di quanto afferma Zenone, non è infinito. Se fosse infinito, Achille non raggiungerebbe mai la tartaruga.

Achille parte dal punto zero, mentre la tartaruga parte con un vantaggio (che indicheremo con s_V) di 10 m. Lo spazio che percorre Achille in un determinato tempo è: s_A = v_A t

Lo spazio che percorre la tartaruga nello stesso tempo è: s_T = v_T t + s_V

Eguagliando le due relazioni avremo vA t= vT t + s_V si scopre se esiste un valore del tempo diverso da infinito tale che lo spazio percorso da entrambi sia uguale (ovvero calcoliamo il tempo che A impiega a raggiungere T)

 6 t = t + 10.

Risolvendo scopriamo che t = 2 s

(Achille impiega 2 secondi per raggiungere la tartaruga).

Questo è quanto viene fuori dalla cinematica.

Adesso traduciamo in numeri il ragionamento di Zenone, e vediamo cosa succede. Il filosofo afferma che nel tempo impiegato da Achille per coprire i 10 m di vantaggio, la tartaruga percorre un altro spazio. Vediamo quanto vale questo spazio. Per calcolarlo dobbiamo prima ricavare quanto vale il tempo che Achille impiega a percorrere il vantaggio concesso alla tartaruga (10 m). Questo tempo è pari a:

Lo spazio percorso dalla tartaruga in questo tempo (t1) vale quindi

Questo spazio, affinché Achille raggiunga la tartaruga, adesso deve essere colmato dallo stesso. Per farlo, Achille impiegherà un tempo t2 tale che sT1= vA t2 (che dalla relazione sopra è anche uguale anche a vT t1) per cui si ricava:

Nel tempo t2 impiegato da Achille nel tentare di raggiungere la tartaruga, la tartaruga si sposterà ancora di uno spazio apri a sT2= vT t2, che Achille coprirà nel tempo

Continuando all’infinito, reiterando il ragionamento di Zenone, si costruisce una somma di infiniti termini pari a:

che rappresenta il tempo impiegato da Achille per raggiungere la tartaruga. La quantità

è quella che chiamasi serie geometrica di ragione h=1/6, ed è noto che risulta essere convergente a:

da cui si ricava

Si conclude che il ragionamento fatto da Zenone, nonostante gli infiniti passi, non conduce affatto ad un tempo infinito, bensì allo stesso risultato che abbiamo trovato prima applicando la cinematica: 2 secondi. Il tempo impiegato da Achille per raggiungere la tartaruga, non è affatto infinito come Zenone credeva, ma è finito, e con le ipotesi che abbiamo fatto, è pari a 2 secondi.

Zenone, nel suo ragionamento si ingannava, dava per scontato che sommando infiniti numeri il risultato fosse automaticamente infinito. Non poteva immaginare che la somma di infiniti numeri, a volte, può dare come risultato un numero finito. Il suo ragionamento, come abbiamo visto, ricade proprio in questo caso.

By Isep-Engineering: Ing. Isoldi Amedeo

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